光持石击瓮破之

--《宋史》记载

如题，给出推理过程：

答案是两只手，司马光砸缸救友时年仅七岁，宋代的瓮多为陶器或粗瓷，一个能淹死小孩（足以让一个儿童无法爬出）的储水瓮，其尺寸应该较大，高度可能在一米以上，容量可达数百升。为了承受这样的水压和自重，其器壁不可能太薄。根据古代陶瓮实物推测，腹部最薄处的厚度可能在1厘米到3厘米之间，底部和口沿会更厚一些。

• 容器高度 H=1 mH=1m

• 水的密度 ρ≈1000 kg/m3ρ≈1000kg/m3

• 重力加速度 g=9.8 m/s2g=9.8m/s2

• 水产生的最大静水压力（在底部）：

Pwater=ρgH=1000×9.8×1=9800Pa≈9.8kPa

假设材料为古代陶土（素陶）。这是一种脆性材料，其抗拉强度非常低，是设计的关键。

• 现代普通陶器的抗拉强度约为 3 - 10 MPa (兆帕，即百万帕斯卡)。

• 古代手工陶器，均匀性和工艺较差，我们取一个保守的偏低值：σallow=2 MPa=2,000,000 Pa

对于平底容器，底部可视为周边固定、受均布压力的圆板。最大应力出现在中心或边缘。一个简化的薄板公式（适用于脆性材料）为：

最大弯曲应力（在底部中心）可近似估算为：

其中：

• PP 是底部承受的压强（PwaterPwater，忽略容器自重和小孩体重产生的微小附加压力，因为相比水压很小）。

• RR 是容器底部的半径。

• tt 是底部厚度。

我们需要根据容量反推半径 RR。 容器容量 V=300 L=0.3 m3（取“数百升”的中间值）。 对于圆柱体 V=πR2HV，所以：

即直径约 62 厘米，这是一个合理的大型水瓮尺寸。

让最大应力不超过材料的许用抗拉强度：σmax≤σallow

代入数值

对于一个高1米、直径约62厘米、容量300升的陶瓮，在仅考虑静水压力的情况下，其底部厚度至少需要约1.9厘米，才能保证结构不破裂，考虑到陶土可能有瑕疵、不均匀，以及运输、碰撞等动态载荷，实际厚度很可能在3厘米到5厘米甚至更厚。容器侧壁承受的压力从上到下递增（底部侧壁压力最大）。但侧壁是曲面，受力情况比平底好。

石头参数

• 材质：假设为花岗岩之类的常见石头，密度 ρs≈2700 kg/m3。

• 形状：假定孩童会选择一个相对称手、有尖锐棱角的石头，而不是圆滑的卵石。接触面积很小，假设撞击瞬间有效接触面积：

孩童能力参数（7岁）

• 体重：约20-25公斤。

• 力量：能搬起并挥动的石头重量有限。根据儿童发育数据，一个健康7岁儿童能提起自身体重30%-40%的重物，但能举过头顶并用力砸下的石头会轻很多。

• 挥动速度：假设孩童双手抱起石头，从胸前高度（约0.5米）用力砸下。撞击速度可估算为 v≈3−4 m/s（考虑了阻力，非自由落体）。我们取 v=3.5 m/s。

石头撞击的动能全部转化为在极小接触区域内使材料发生断裂所需的功。

断裂所需能量可用一个非常简化的模型：在接触点附近产生一个环形裂纹所需的能量。这正比于断裂韧性和厚度。但这里我们用更直观的“冲击力”方式来反推。

计算所需的冲击力 F： 要砸破缸，撞击点的压强需超过陶的抗压/抗拉强度。由于是脆性材料，抗压强度远高于抗拉，但撞击会产生拉伸应力波导致开裂。我们保守地用抗拉强度估算。

根据上面的接触面积，所以所需冲击力为：

将冲击力与石头动能关联： 冲击力 F是平均值。在短暂撞击时间 Δt（假设约0.01秒，对于脆性材料撞击很短）内，石头动量变化 mv≈FΔt。

计算得石头质量仅需约0.57公斤（即1斤多一点）。实际所需的最小有效石头重量会远大于此理论值。

结合儿童体能和破坏效率：

1. 理论最低值：如果孩童幸运地用一块非常尖锐的石块棱角，精准地砸在缸的薄弱或平坦处，可能只需要 1-2公斤 的石头就能砸出裂纹。

2. 现实可行值：考虑到孩童的力气和操作可靠性，他/她很可能会选择一个自己能最大限度发力的石头。对于一个7岁孩子，这个重量范围大约是 3-8公斤（约6-18斤）。

   • 3-5公斤：可以双手抱起并举到腰部以上，用力砸下。

   • 5-8公斤：可能需拖到缸边，抬起后利用重力推下或砸下。

3. 重量上限：超过10公斤的石头，一个7岁孩子很难有效控制和挥动，反而不易产生高速撞击。

所以最后司马光砸缸用的是双手！