这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……

喀秋莎 这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……

对啊，不过要认真做的话要用到积分求n维“三面体”(找不到合适的称呼了)，最后算出来一个级数，会发现答案是自然对数的底数e

喀秋莎 这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……

光算P(s)就很难，，，

喀秋莎 这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……

可以这么想:这里假设n回合飞镖贴的半径为rn，飞镖靶的半径为R.可以让x1=R-r1;x2=r1-r2;x3=r2-r3...
①x1<R
②x2<r1=R-x1(这样可以保证下一个点在飞镖贴内)==>x1+x2<R
③x3<r2=R-x1-x2==>x1+x2+x3<R
...
x1+x2+x3+...+xn>R，xn属于[0,R]，这个式子刚好成立时n的值即为所求
然后可以开始搞积了[滑稽]

喀秋莎 这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……

然后可以这样:P(s)=P(s>n)-P(s>n+1)，带入E化简就得到
E(s)=P(s>0)+P(s>1)+P(s>2)+...
P(s>0)和P(s>1)都为1(第一次绝对中,第二次无论输赢都加分)，
P(s>2)==>x1+x2<1，可以想象一个x1-x2的平面坐标系那它就是一个三角形，1就是1^2(正方形)，三角形除以正方形就是它的答案:1/2
P(s>3)==>x1+x2+x3<1,想象三维空间，同上...答案:1/6
P(s>4)=1/24.........
带入E：E=1+1+1/6+1/24+1/120+...=e

切片：求n维可以用n-1维的图形求。如：想象一个三角形在截一个三面体，
∫(0,1)1/2(1-x3)^2*dx3=1/6。还算好求，如果要求“球”的“体积”的话就要三角换元了，

然后推荐一下3b1b和numberphile:

https://b23.tv/Xc7OiM 下次填坑就推n维“球”的公式（计算量吓人）

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写得有些匆忙，下一个解答贴应该会很细吧（虽然也有可能没有），大家有别的方法也可以发过来，相互学习

这个问题应该等价于在一个随机数列里,从头开始数出一个递减/递增数列的期望长度+1

csdn上已经有这个了
https://blog.csdn.net/Nathan_wz/article/details/8045707

p(n) = (n-1)/n!
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6thNOS csdn上已经有这个了 https://blog.csdn.net/Nathan_wz/article/details/8045707

妙啊！本以为很少有人喜欢纯粹的数学，所以就把它弄成了一个游戏，酷炫的问题和答案，没人注意过程，所以当人看到一个个公式的时候就直接去世了，没想到大佬还是有的。
用这个方法推出来也是e。

不搞积了，搞穷举和集合去了

不是很懂你们理科生研究这个做什么

联盟X 不是很懂你们理科生研究这个做什么

就感觉很神奇，e是什么，它的定义是当dx趋近于0时(e^(x+dx)-e^(x))/dx=e^x，用图像来表示的话就是e^x在坐标系下图像的斜率为它本身，这么一个数竟然会出现在这样一个游戏中，另外e^x因为它本身的定义，常常用于研究一种指数型的变化，比如石头的年龄，生物的繁衍生殖等等
要说这个问题本身的意义，由泰勒展开可以得到
e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!...
而我推出来的式子刚好符合这样的式子。数学总是如此的神奇
另外呢，我也不是理科生，我就只是个纯粹的数学爱好者

奖励三级精华

皮蒂亚 就感觉很神奇，e是什么，它的定义是当dx趋近于0时(e^(x+dx)-e^(x))/dx=e^x，用图像来表示的话就是e^x在坐标系下图像的斜率为它本身，这么一个数竟然会出现在这样一个游戏中，另外e^ ...

啊这，额，嗯，挺好

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我挺懵

除了求积分那一部分我懵了一下，整体看着还不错，楼主用心了。毕竟这种单纯的概率题，理解起来不是很困难，不过要解释清楚确实不简单。
我虽然不是单纯的数学爱好者，但对于数学问题也很感兴趣，碰到这种巧合也会异常激动，比如斐波那契数列与黄金比例的关系，第一次见到就感觉到了惊奇。
楼主再一次开拓了我的视野，我对自然数e的认识原本只停留在工程学中罢了。

星辰乄 除了求积分那一部分我懵了一下，整体看着还不错，楼主用心了。毕竟这种单纯的概率题，理解起来不是很困难，不过要解释清楚确实不简单。 我虽然不是单纯的数学爱好者，但对于数学问题也很感兴趣，碰到这种巧合也会 ...

说实话，时间久了，我自己看着先前写的东西也有点迷，就是P(s＞n)为什么可以转化为x1+x2+x3+...+xn＜R，xn∈[0,R]成立的概率（勘误，按照定义应该是R而不是1,当然你也可以两边同时除以R，没影响），其实你只要画个图就理解了，定义xn=r(n-1)-rn），当局数越来越多时，把所有的xn相加，如果它们能满足小于R的话，就说明游戏可以继续下去，反之游戏结束，就是那个不等式成立的概率了
至于为什么要积分这一步，这里简单的举个例子吧：
x^2+y^2＜1，x和y∈[-1,1]，画一个坐标系，x^2+y^2是圆的方程，1的意思就是圆的半径的平方要小于1，那么你可以在外套一个边长为2的正方形，按照x,y的定义，它们的活动范围就只能在正方形内，要满足原不等式成立，就只要算出圆面积与正方形之比，那么此时P=S圆/S正=π/4。
同理，x1+x2＜R，xn∈[0，R]，你也可以画一个坐标系，x1+x2就是直线函数，与坐标轴围成一个三角形，包一个正方形，算出它们的比值就是不等式成立的概率了。x1+x2+x3＜R时就要搞三维空间了，就要算出三面体和正方体的体积了，正方体好算，三面体呢？此时积分的重要性就来了。我们可以用切片：用n-1维的图形的“体积”求n维图形的“体积”，即S(n+1)=∫（0，rn）xn dx(n+1)，这样就可以算n维“三面体”的“体积”了，（找不到合适的称呼，就用“体积”这个词代替了测度），可以发现它们都是1/n!，严格点的话可以用量纲法把通式推导出来，于是就有了那个神奇的级数啦。如果感兴趣且有时间的话你可以去推一下“球”的“体积”通项公式（三角换元大法好），你会发现它们满足都满足阶乘关系
顺便说一下，本人是一个对数学感兴趣的准初三学生哦（绝对不是凡尔赛）

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再次勘误，应该是四面体哈（少数了一个底）

当我再次点进这个贴的时候，发现错误不断（哭），干脆出贴...

对于个人的知识和能力的高低，不分履历的先后，毕竟自古英雄出少年。

从题型的角度分析，每一次得分的期望率其实是要求每一次投掷尽可能有效，这是贪心的思想，所以正常顺着思路考虑就好了。
但每次的概率我感觉 n-1比n阶乘更加靠谱，楼主的n阶乘分之一不靠谱。

首先考虑总情况
第一次必中。
第二次会出现两种情况，也就是投掷到圆环或者圆内，即二。
但这个游戏从规则上讲不论之后如何，一定是会投掷两次的，也就是说最低都是两分，因为第一次必中，第二次必然得分，所以在公式中体现的p(2)概率为1。
第三次会出现三种情况，即投中第二次情况中未投中的圆环，第三次情况中未投中的圆环第三次情况投掷有效的圆内，即三分。根据贪心的思想，第三种情况依托于第二种情况的成立，那么在第三次中总的情况数是二乘以三得六
类似于排列组合。
第四次类似，会出现四种情况，第二种情况下未投中的圆环，第三次未投中的圆环，第四次未投中的圆环与有效投掷的圆内，即四。同理，四乘以三乘以二。
以此类推，投掷的总情况数就是n阶乘。

再考虑期望值，也就是投中圆内的情况数。
这个其实很好统计，不过首先明确，这个情况数不是1。
根据贪心的思想，我们每次的投掷都是令其尽可能地有效，即投到圆内。
所以每次投掷其实期望值都累加1。
为什么这么说呢，依然是我们的大前提，即每次投掷都尽可能地有效，这样才能保证可以下次投掷，所以每次投掷都有一个值是必然存在的，但这个值在每次投掷时并不相同，所以相互独立。
概率即为n-1比n阶乘。

嗯，简单的排列组合，这我竟然都没想到哈，取而代之的是我用积分来表示了（虽然有些麻烦，不过这其中的联系很妙），另外P(s＞n)和P(n)的值是不同的，所以才会有之前的不同结果(关于n!还是(n-1)!)
还有就是，这其中其实有个小细节：如果落点在圆心或圆边缘的话，就是另一种情况了，你不能确定这句游戏的胜负，不过这样的事可能发生，只是它的概率为0（线段或点与平面图形的比值为0）。你也可以想象一个(0,1)随机递增的数列，0.5这个数出现了两次，但这种情况发生的概率为0，想象一个在数轴上的点，点本身无限小，相对于直线来说就显得微不足道了（降维打击哈哈哈）。关于这个细节，我觉得还是挺有趣的。

好，现在有三种方法了，一个比一个简单，果然数学还是越简单越好

如果存在重复，会对每一次得分产生影响，但不会对整体期望值产生过多影响，原因依然是贪心思想的核心，我们对于每一步都认为其尽可能地有效，所以重复的值会影响概率分布，但不会影响最终的期望长度，这就是其精妙之处。
换句话说如果存在重复，那么我们只认为是总情况数增加了，但对于每一步的期望值依然认为不变是n-1.
而实际上总情况数并未增加多少，这种影响是微乎其微的.
从极限的角度考虑的话，当n级达到一定程度，重复值的影响会趋近于零，就好像1比100000和1比100001，因为这个值在最终所体现出的一定是一个近似值。

星辰乄 如果存在重复，会对每一次得分产生影响，但不会对整体期望值产生过多影响，原因依然是贪心思想的核心，我们对于每一步都认为其尽可能地有效，所以重复的值会影响概率分布，但不会影响最终的期望长度，这就是其精妙之 ...

不是很懂，大概的意思是我们假定每一步是尽可能有效的，所以不会产生多大影响吗？感觉这样一个游戏放在现实中是不可能的，感觉就要扯点弦论之类的东西，空间到底是连续的还是粗糙的，或者存在分形维度？反正这个问题也只是在理想环境中，我们研究它也许只是在精神世界中。（日常哲学undefined）

皮蒂亚 不是很懂，大概的意思是我们假定每一步是尽可能有效的，所以不会产生多大影响吗？感觉这样一个游戏放在现实中是不可能的，感觉就要扯点弦论之类的东西，空间到底是连续的还是粗糙的，或者存在分形维度？反正这个问题 ...

因为我们要算的是期望值，也就是对整体情况的评估，为了对价值评估的准确性，我们肯定认为数据越多越好，情况越长越好，那么要让情况更加可靠的前提便是前次情况成立，即前一种情况是我们所希望的那样。
白话说，对于这个游戏，我们想要评估n级数下的情况，那么就要尽量保证n-1的情况是存在的，即n-1的飞镖是射中在圆内而不是圆环。
这不是取巧，而是为了便于观察的一种方法，比如说在生活中我们想要考虑买到彩票后能中的概率，那么最理想的情况就是我买的这个号码就是所有号码中中奖的那个，那么我所认为的概率就是我的这个号码的数量比他卖出号码的总数量，这样的数据更加精确，并且有一定价值，这么说好理解吗？
也就是我们认为对于每次操作所得到的结果都是最理想的结果，让这个最理想的结果比总情况，就是我们认为的对我们有利，或者说是有效数据。而对于并不理想的结果，也能够用这个有效数据反推回去。
任何学科都是在理想环境中去思考，即便是社会人文学科也难以找到一个干净的实验环境，而从非理性情况过渡到理想情况就是概率学的范畴，也就是从无数的信息中找到并使用有利且有效的数据，这样的数据所做出的统计概率虽然片面但有研究的价值。

星辰乄 因为我们要算的是期望值，也就是对整体情况的评估，为了对价值评估的准确性，我们肯定认为数据越多越好，情况越长越好，那么要让情况更加可靠的前提便是前次情况成立，即前一种情况是我们所希望的那样。 白话说， ...

好像有点懂了，感谢大佬~

神仙打架啊