证明定周长的图形圆面积最大——以及一些常用的数学方法
“定周长的封闭图形当中，面积最大的是圆。”这个结论很多人都知道，然而大多都不知道怎么证明。这里给出了一个不怎么巧妙但容易想到的证明，并介绍一些有用的数学方法。
一.问题的转化
容易想到的是“量化”图形，首先要考虑如何表示图形。于是我们在极坐标下取图形内部一点作为极点。
构造关于θ的函数r(θ)，并且θ的取值范围为0~2π，这个时候能表示任意封闭图形(这里其实并不严谨，但不影响证明，后文的“补充说明”会提到)。因为是封闭图形，所以函数r(θ)应满足两个条件：
1.
(即函数连续)
2.
(端点相连)
接着就是分别表示图形的周长和面积。
周长的表示要用到极坐标下的弧微分
弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。
它推导过程如下：
根据极坐标转直角坐标的参数方程
有
由勾股定理得
于是周长
面积的表示比较简单，用扇形的面积公式再积分即可
那么问题就转化为：
在满足
且
为前提条件的情况下，当
为定值，且
取得最大值时，证明此时r(θ)=const.（即r为定义域是[0,2π]的常函数，此时图形为圆）
二.拉格朗日乘数法
先考虑一个问题:求f(x,y)在约束条件g(x,y)=0限制下的极值
我们可以想象f(x,y)的图像是一座小山，并画出一堆等高线，g(x,y)=0是一条落在山上的一条曲线。当f(x,y)取到极值(在约束条件下，图中为5)时约束曲线与等高线相切，那么它们在这点的法线平行，于是会满足
再移项得
常数λ被称为拉格朗日乘子
引入辅助函数
那么当这个函数取得极值时，f在g=0的限制条件下也取得极值，而且可以推广至任意元。
我们回到原来的问题。
令C(r)=k可以构造辅助函数函数F(r)
我们只要求此函数的极值即可
三.变分法
函数F(r)的自变量是函数，这是什么意思呢？意思是这个函数的作用是将一个平面上的曲线映射到数轴上的一个点。我们把这种自变量是函数的函数称为泛函。
那么如何求泛函的极值呢？这就要用到变分法。
“δ”和微分中的“d”思想类似，后者的微扰为一个数，而前者表示为对一族函数的微扰。
展开上式并化简得到
令
那么
这里h(r+δr)取δr的幂级展开，因为δr是任意一阶微小量，所以高次项可以忽略，取前两项即可。
同理
当δF=0时，r经扰动后F的变动值为0，此时泛函F取极值。
所以
移项并代入原式得
因为λ是常数，为满足等式右边的式子为常数，则必须消掉δr，所以解得r’=0，则r=const.( 定义域为[0,2π] ).
得证
四.补充说明
1.我虽然口头上说函数满足r(0)=r(2π)，但其实在表示中没有满足的情况也算在内，即图形不封闭，这时候周长表示为曲线长，面积表示为连接两端点的图形的面积
但把这种情况也算进去的话圆还是最大。
2.有些属于凹集的图形并不能用函数表示(比如下图)
这就是多连通区域的图形，但它并不影响结论。
因为我们可以证明定周长的图形凹的没有凸的大，作曲线AB关于直线AB的对称曲线，新的图形的周长不变，但面积比原来的大。
于是我们可以忽略图形属于凹集的情况。
呼！终于写完了！！！用了一天半的时间，一直在想这个问题，这个问题是我们新高中的数学老师提到的（tmd中考完还要去高中上课），我们大多数同学都知道答案，但老师说让我们证明，于是就有了上面这些。。。
基本上我想到了量化，但不知道怎么算，于是我就去学了一点泛函分析，所以这个贴是现学现卖，欢迎各路大佬帮助指正一些不严谨的地方。
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
星辰乄 大致看了一下，确实不难，只是我微积分公式基本忘光了做不到算术验证，不过我相信楼主应该不会在求公式出错吧。（大概） 我先说一下我观察到的问题，我对你题目核心的理解比较浅层，我也没有证明过其具体过程，所 ...
δr为「任意」的一阶微小量（它也是一种函数），如果保留它积分出来也可以是任何数，这个数对于不同的δr会是不同的值，所以它是变量而非常量，又因为r和δr无关，当r确定时，δr仍不确定，为保证右边为常数所以就必须消掉δr。
函数连续和和r(0)=r(2π)其实就是说图形应该是个封闭图形，不会出现“突然断开”的情况，而且r是个函数，如果它等于0的话，那图形就是一个点，这种情况没有意义最后于 2022-7-25 被皮蒂亚编辑 ，原因：高三力。。 -
-
-
没有意义？这么说不太严谨，并且我也并不太理解这种说法，具体是什么意思？
皮蒂亚
星辰乄 大致看了一下，确实不难，只是我微积分公式基本忘光了做不到算术验证，不过我相信楼主应该不会在求公式出错吧。（大概） 我先说一下我观察到的问题，我对你题目核心的理解比较浅层，我也没有证明过其 ...
是说r函数不能取0点？那就不是连续了吧；还是说该解法是趋近于0的情况？如果我们是在初中和小学，用手里的尺子和计算器去解题，那么带不带0的情况就无所谓，但既然考虑到了微积分领域，考虑到了无穷象限的问题，那么这个东西，这个作为边界限的东西是不是应该深入一下呢？
0的情况是否有具体详细的证明？这么说可能是有点钻牛角尖，但数学不就是要严谨么。★ 携飞仙以遨游，抱明月而长终。 -
对于这个小量的理解我不知道我个人是否正确，我是类比的高阶无穷小，但即便看成是高阶无穷小也逃不开且不能忽略这个问题。
喀秋莎
他用的是变分法，你不要把δ看成微分，看成一个小量就行了。
虽然我微积分也快忘光了。
因为我观察到的这个泛函的理论是建立在了这个误差之上，如果忽略这个误差那整体不就是恒等于零么，那这不就是一个封闭系统了，所以我猜测这个所谓变分法不应该可以令一个式子的某一项自动等于0吧？无论如何他都应该是在已经有0的基础上再去简化才能得到这个结果。
我的意思是，因为要得到一个常数所以要让某一项等于0这个说法难道在变分法中或者是在泛函中是肯定存在的么？这么说就好像我想让a*b=C,那我就让b为0一样，这么做是对的，但是不是有点欠妥了。★ 携飞仙以遨游，抱明月而长终。 -
你所说的“个数对于不同的δr会是不同的值，所以它是变量而非常量”大概率是函数的定义，而且我相信这应该是泛函的概念，我刚才简单看了一下泛函的意思，大概就是用一个包容函数去体现一个具体函数的值域，这个并不难理解。
皮蒂亚
星辰乄 大致看了一下，确实不难，只是我微积分公式基本忘光了做不到算术验证，不过我相信楼主应该不会在求公式出错吧。（大概） 我先说一下我观察到的问题，我对你题目核心的理解比较浅层，我也没有证明过其 ...
但可能会令我产生误区的是这个领域里的那些隐含条件，“δr仍不确定，为保证右边为常数所以就必须消掉δr。”这个说法是什么理论的基础？为什么要消掉它才能得到一个常数？不论是微分r还是变分r在这个积分式中都会体现成一种动态的变量吧，因为这是函数的函数，那具体函数r也是其自变量，又或者叫变量函数。换句话说这个式子中这两个值都不能在一开始当作常量吧，都需要取验证，微分r为0或许是对的，但这并不够严谨。
这是变分法的内涵么？变分r不确定，我们可以将其当作一个变量，但在定积分式中存在一个变量也不应该是消掉某一方去得到某一方，这个缺乏理论基础，因为我们完全可以假设这个变量是有界的，那么这个式子就是一个初等有界函数的积分式，这需要进一步积出这个式子，证明这个式子有界，最后再定夺是否该取零，这应该才是足够严谨把？
可能我对变分法的理解过于片面，又或者这个方法里有什么定式或者公理，如果可以希望楼主对这一点进行着重说明：
消掉一项的必要性，这是变分法的基础么？我仅记得这只能作为假设进行逆推，他不能作为唯一解的求法，不然a*b+C=C，令b为0可以令式子成立，这有点不太合理吧？★ 携飞仙以遨游，抱明月而长终。 -
等等，你说的自变量取0哦，我以为是函数r取0
星辰乄
没有意义？这么说不太严谨，并且我也并不太理解这种说法，具体是什么意思？
是说r函数不能取0点？那就不是连续了吧；还是说该解法是趋近于0的情况？如果我们是在初中和小学，用手里的尺子和计算器去解题，那么 ...
我觉得这个问题不必太纠结，应该是我的描述有问题，这样描述吧：
当θ∈(0,2π)时r函数连续（注意这是开区间），然后剩下的边界要满足r(0)=r(2π)，这并不代表r就为0，r是个函数，这样保证了图形是封闭的。
其实在变分的时候我们也默认了r的一阶二阶导数都存在，刚好只讨论了函数连续的情况。高三力。。 -
你将这个函数拆成了分段函数，在有限区间内函数连续，这么做可以保证函数整体连续么？分段函数证明连续是不是也应该推导一下？我不知道。
皮蒂亚
等等，你说的自变量取0哦，我以为是函数r取0
我觉得这个问题不必太纠结，应该是我的描述有问题，这样描述吧：
当θ∈(0,2π)时r函数连续（注意这是开区间），然后剩下的边界要满足r(0)=r(2π ...
因为从我的主观上你对不规则图形的定义，部分连续与边界是跳跃的，如果θ是闭区间，且边界满足r(0)=r(2π)那么函数应该是连续，但如果θ是双开区间，通俗讲也就是达不到边界，但通过分段将达不到的边界算在函数里，那分段后属于新的函数，这个新的函数是不是也应该证明一下连续性？
★ 携飞仙以遨游，抱明月而长终。 -
星辰乄 你所说的“个数对于不同的δr会是不同的值，所以它是变量而非常量”大概率是函数的定义，而且我相信这应该是泛函的概念，我刚才简单看了一下泛函的意思，大概就是用一个包容函数去体现一个具体函数的值域，这个并不 ...
其实可以这样理解F(x;x,y)=f(x;x,y)+δf(x;x,y)=f(x;x,y)+εη(x;x,y)，假设f是我们要求的极值函数，η(x;x,y)是任意函数。
dF/dε=0（并令ε=0），求得极值，此时f也取得极值，假设成立可以看看这个课：
https://b23.tv/3mrFPJj
最后于 2022-7-25 被皮蒂亚编辑 ，原因：高三力。。 -
-
-
-
-
-
-
-
