数理方程例题：一维波动方程的求解

题目： 求解以下一维波动方程的初边值问题：

边界条件：

初始条件：, .

解：分离变量法

设解的形式为 ，代入方程得：

分离变量得：

于是得到两个常微分方程：

第一步：求解特征值问题

由边界条件 ，对于非平凡解，有 。

方程 在下列情况下有非零解：

• 当 时，通解为 ，由边界条件得 推出 ，无非零解。
• 当 时，设 ，通解为 ，边界条件只能得出平凡解。
• 当 时，设 ，通解为 。由 得 ，再由 ，要求 ，故 ，即 ，从而

特征值为

对应的特征函数为

第二步：求解 \(T_n(t)\)

对于每个 ， 满足

其通解为

因此得到满足边界条件的分离变量解：

第三步：叠加原理与初始条件

由叠加原理，设通解为所有分离变量解的线性组合：

利用初始条件确定系数：

初始位移：

比较傅里叶正弦级数的系数可得：

初始速度：

因此对所有 有 ，得 。

第四步：写出最终解

代入系数，得到解为：

此解描述了弦上各点随时间振动的位移，由第一阶和第三阶简谐模式叠加而成。

注：如果初始条件更复杂，则需要利用傅里叶系数公式

来计算所有系数。