2,3,5,7,11,13,19,23,27......这样一个数列，你能找到规律吗？

好吧对于你来说可能有些困难,你大可以放下手中的笔听我慢慢讲述。

我所要讲的，不是素数的分布，但却与素数有着很大的联系。

那就先明确一下目标，它是一个简短的式子：

当然方法不唯一，这里就有一个简单的方法：

这个方法没啥问题，但它又似乎太过简短，我们无法体验到做完难题后的美好感受，没有激动、兴奋和喜悦……而且，我们学不到多少东西。

最重要的是，对于某些人来说，它超纲了——用到了微积分。

但我想分享的是另一个方法，它不需要任何前置知识，我将其称之为“基础”，但“基础”并不意味着简单，相反，你需要一个绝顶聪明的大脑。

那就不再铺垫，直接开始吧！

有π就有圆。那么建立起一个坐标系，并画上一个半径为R的圆，而我想让你做到，是找出圆内所有的整数坐标点的个数。

你可能会在连续半径下寻找规律，但似乎毫无规律。那么抓住线索——整数坐标点。比如(2,3)这个点，你算得它离原点的距离为，根号下的数是整数。普遍地看整个坐标系，任何一个整数坐标点到原点的距离为，N为非负整数。利用这个线索，我们可以找到半径为的圆的圆周经过的整数坐标点的个数，设其为P(N),即定义函数P(N)表示半径为的圆的圆周上整数坐标点的个数。

如图，上图的圆经过了12个点，它的半径为，所以P(25)=12。

这样做的原因是为了对圆内的点进行分类，从而简化问题。

注：这里为了更直观，只化了过了整数坐标点的圆，实际上还有一些不经过的，如半径为的圆，它的圆周不会经过任何整数坐标点，所以P(3)=0。

对比两张图，那么就表示为半径为的圆内所有的整数坐标点的个数，就这么一圈一圈的相加……

接下来就是求P(N)这个函数了。

先来看一个简单的例子，P(5)=?其实这挺简单的。

共8中方式(对应8个坐标)，所以P(5)=8。

但这么长一串的式子太繁杂，不如将它表示为5=(2+i)(2-i)，其中i为虚数单位，。

这样做，不单只是简化，而是有一定原因的，在知道原因之前，你应该晓得：扩充数域，总会给我们意想不到的惊喜！！！

如果你还不了解复数，这里会给出一个简单的说明(当然你也可以跳过)：

一个数乘上-1会得到它的相反数，在数轴上就是绕原点旋转180度，而，乘上两个i得到了-1旋转了180度，那么乘一个i就表示绕原点旋转90度，我们就开辟出了新的坐标系统。

其中横轴为实轴，纵轴为虚轴，这个平面就叫做复平面，形如a+bi的数就是复数。

回归正题，5=(2+i)(2-i)只给出了2+i和2-i两个点，不是一共有8个点吗？其它6个呢？

其实还有5=(-2+i)(-2-i)=(1+2i)()1-2i)=(-1+2i)(-1-2i)

仔细观察你会发现这些式子都是原来的一个式子乘上-1，i，-i后的结果，而且这也很容易通过图像理解。为方便表达，我把最开始得到的式子称为一对“共轭基数”(共轭对指a+bi和a-bi，而这种数特别的地方在于“基”这个字，它乘-1，i，-i后就是其它共轭对了，它创造了这些数，所以叫做“基数”)，而其中不能再分解的数被称为“高斯素数”。5等于两个共轭基数相乘，分别乘了1，-1，i，-i得到了4对共轭对，那么它就有8个分解出来的高斯素数，而刚好在这里这些高斯素数就是它所经过的整数坐标点的个数。

所以P(5)=2*4=8  2表示共轭基数的个数，4是因为它乘了1，-1，i，-i(多次强调，你会了吗？)

再来看P(25),

它由4个高斯素数相乘得来，能分配出(3+4i),(3-4i),5三个基数，因此P(25)=3*4=12。再由上面图像检查是对的。

再看到P(125)，

，你得到了这两种不重复的分配方式，并得到了四个基数即两对共轭基数。所以P(125)=4*4=16。

到此，规律也十分明显了：。但是并不一定完全有规律，你需要仔细想想，多找几个例子，比如求P(625)，寻找更普遍的规律且有依据。实际上，，当n为奇数时，它能分成2n个高斯素数相乘，然后你能找到种不同的分配方式(这是肯定的)，那么此时就有n+1个基数，;当n为偶数时，它也能分成2n个高斯素数相乘，可它有个高斯素数分配方式和一个整数分配方式(即)，但它竟然也能有n+1个基数，因此在此时依然成立.

实际上不只是5，其它能分解的素数都有这样的规律。比如

等，你会发现这些都是4n+1这个类型的素数，那么除掉4n+1和2n(这是肯定的不是素数)，正整数范围内就只剩下4n+3这个类型的素数不能分解了，如3，7，19等。

关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。所以你可以试着去证明它！！！

再来个例子 ,的每对基数和的每对基数组成了新的一对基数，其中有2对，有1.5对，分别配对就得到对，但其实每对有两种分配方式，比如不仅可以等于还可以等于，因此更准确地说是能分成6对，就有12个基数。

所以，整体来看是(这个数太大，所以不能可视化了)

普遍地对于任何可分解素数p都满足：

再来看一下4n+3型的素数，因为它不能分解，所以P(4n+3)=0,但它的平方就有路走了，比如P(9)，，它有一个基数3，所以。

再来个例子P(15)=? ，多出来的这个3导致无法产生共轭对，所以P(15)=0，

但如果再多一个3的话：，所以P(45)=8。

这就要看3的指数是奇数还是偶数了，除了3，其它的4n+3型素数也一样。

最后特别说下最特殊的素数2，它并不是不能分解：，但是，也就是说它只有一个基数。所以。因为2只有一个基数，所以一个数乘了2后并不会改变它经过的整数坐标点的个数。

如图，

到此，我们就搞懂了P(n)这个函数，但它的函数值出现地也太没规律了吧！于是我们需要找到另一种表达方式，就是一个不错的表达方式(是希腊字母，读作/kaɪ/)，这个函数定义得十分精妙：，， 是否感到有些眼熟？这不分类嘛！！！把全体正整数带进去会得到……就这么1，0，-1，0地循环，即复平面中1一直乘i后结果的实部。

而且它还是个“积性”函数，意思是，你可以代数进去验证，而且这个挺好证明的，你自己就可以试一下。

很多时候，人们往往无法理解分类的意义，但当你在生活中去应用它的时候，有些无序的东西立马就变得有条理起来，数学也一样。

看P(45)这个例子，在经过上文的训练过后你很容易算得P(45)=8，然后你会神奇地发现：

再利用积性性质打开括号得到：

其中的输入值竟然为P(N)函数输入值的因数！！！而且这规律对于所有的正整数都适用。这也很好理解，就是括号里每一项分别相乘的结果。

那么——

R越大，圆内的整数坐标点越密，约等号两

边越相近。再观察，每一部分都有X(1)，每两部分有X(2)，每三部分有X(3)……

当R趋于无穷时，两式就可以划等，此时约掉两边的，移个项，就得到了最开始的那个式子了：

跑了好久才跑出来的，电脑都要炸了啊啊！！

补充：上式所算的没有P(0)这一项，而它只有一个原点，相对于圆内无穷多个点就显得微不足道，故省去。

尾声：

我第一次看到这个时也十分震惊，这与作业本上的不同，它是美妙的，也许生活中用不到它，但它却给我带来了最美好的感受。

对于数学，它不应该是追名逐利的工具，我不希望用它来比高下，它从来不在于你做了多少练习题，而在于你对它的深入理解。

我想与他人分享这样的美好感受，这也是我做此科普的初衷。这是我的第一次科普，前后改了三四遍，也花了我大量时间。我尽力地去讲述清楚和简化内容，也用到了通俗的语言呈现在你的面前。就像前面所说的，它不会用到高深的数学知识。

有人说，做这样的难题没有实际意义。可能确实是这样，它没有傅立叶变换之类的数学工具好用，但你却能通过它获得了美好感受，还探讨了素数、复数和π之间的联系。而它们似乎与一个神奇的函数——黎曼ζ函数有一些关联。

这是一个神奇的式子，它由欧拉提出的两个式子组成： 和。

3b1b的创始人Grant曾经做了一个关于滑块碰撞撞出π的科普。

(HTTP://www.bilibili.com/video/BV1nt411p7F9?share_source=copy_web)

他在一次演讲上说道：“一个从事量子力学的科研人员找到我，说他把这(滑块碰撞)应用到量子力学去了！”是的，这令人震惊，有谁能想到数字会在这里出现呢？我想，也许这就是我们研究数学的原因——它总能给我们意想不到的惊喜和艺术的感受！

终于写完了，累死我了！！！其实我很早就想在里世界做科普了，在学校一直在写稿子(大部分时间是在数学课上)，又排了一下午的版，做的也还是挺用心的吧。

以下是做可视化的代码，可视化工具：manim

from manimlib.imports import *

class crea(Scene):
    def construct(self):
        i=5
        R=np.sqrt(i)#半径
        tex=TexMobject("R=\\sqrt{5}").to_edge(UL)
        dot=Dot(color=RED,radius=0.3/R)
        circle=Circle(radius=3.5)
        grif=NumberPlane(
            x_min=-2*R,x_max=2*R,
            y_min=-1.5*R,y_max=1.5*R,
            ).scale(3.5/R)
        self.add(circle,grif)
        self.play(Write(tex))
        for y in range(-int(R)-1,int(R)+2):
            for x in range(-int(R)-1,int(R)+2):
                if np.sqrt(x*x+y*y)<=R:
                    dot=dot.copy().move_to(
                        np.array([x*3.5/R,y*3.5/R,0])
                        )
                    self.add(dot)

        self.wait()
class allcir(Scene):
    def construct(self):
        i=25
        R=np.sqrt(i)#半径
        tex=TexMobject("R=\\sqrt{25}").to_edge(UL)
        dot=Dot(color=YELLOW,radius=0.07)
        circle=Circle(radius=R,stroke_width=1,color=WHITE).scale(0.7)
        new_cir=Circle()
        grif=NumberPlane(
            x_min=-10,x_max=10,
            y_min=-8,y_max=8,
            ).scale(0.7)
        self.add(circle,grif)
        self.play(Write(tex))
        for y in range(-int(R)-1,int(R)+2):
            for x in range(-int(R)-1,int(R)+2):
                if np.sqrt(x*x+y*y)<=R:
                    dot=dot.copy().move_to(
                        np.array([x*0.7,y*0.7,0])
                        )
                    new_cir=circle.copy().scale(
                        np.sqrt((x*0.7)**2+(y*0.7)**2)/(R*0.7)
                        )
                    self.add(dot)
                    self.add(new_cir)
        self.wait()

class outcir(Scene):
    def construct(self):
        i=25
        R=np.sqrt(i)#半径
        tex=TexMobject("R=\\sqrt{25}").to_edge(UL)
        dot=Dot(color=RED,radius=1/R)
        circle=Circle(radius=3.5)
        grif=NumberPlane(
            x_min=-2*R,x_max=2*R,
            y_min=-1.5*R,y_max=1.5*R,
            ).scale(3.5/R)
        self.add(circle,grif)
        self.play(Write(tex))
        for y in range(-int(R)-1,int(R)+2):
            for x in range(-int(R)-1,int(R)+2):
                if np.sqrt(x*x+y*y)==R:
                    dot=dot.copy().move_to(
                        np.array([x*3.5/R,y*3.5/R,0])
                        )
                    self.add(dot)

        self.wait()

class numl(Scene):
    def construct(self):
        t=TexMobject("\\times(-1)")
        od=Dot(radius=0.15).move_to(np.array([0,0,0]))
        o=TextMobject("O").next_to(od,DOWN)
        axis=NumberLine(x_min=-8,x_max=8)
        dot1=Dot(radius=0.1,color=RED).shift(LEFT*2)
        dot2=Dot(radius=0.1,color=RED).shift(RIGHT*2)
        arc=Arc(angle=PI,radius=2,buff=4).add_tip()
        t.next_to(arc,UP)
        alls=VGroup(axis,dot1,dot2,arc,t,od,o)
        alls.shift(DOWN)
        self.add(alls)
        self.wait(3)
        self.play(FadeOut(alls))
        cpl=ComplexPlane().add_coordinates()
        im=TextMobject("Im").shift(UP*3.5+RIGHT*0.7)
        re=TextMobject("Re").shift(RIGHT*6.5+DOWN*0.7)
        self.add(cpl,im,re)
        self.wait()