一个有趣的数学问题
我们来玩个游戏，假设你有一个飞镖靶(圆形)和一个同等大小的飞镖贴，把飞镖贴贴在飞镖靶上，然后开始玩飞镖，规则如下：
假设你有一个能让飞镖射出去后能保持在飞镖靶上的特异功能，即飞镖的落点总是在飞镖靶内。
你是一个机器人，做出的行动总是随机的，因此，飞镖落在飞镖靶内的概率是同等的。
飞镖射出去以后，如果它的落点在飞镖贴上的话，以落点到圆心的距离为半径画圆，剪去飞镖上画出的圆外的贴纸，只留下画出的圆，将它作为新的飞镖贴，开始下一轮游戏
如果飞镖落在飞镖贴外，结束游戏，此时飞镖靶上的飞镖个数即为所得分数
如果还不明白的话，整个动画应该就明白了吧。蓝色的大圆盘就是我们的飞镖靶，红色的就是飞镖贴，哪些红红绿绿的小点点就是我们飞镖的落点，右上角是我们的得分。可以看到这局游戏的最后我们的得分是4，因为最后一共有4个点落在飞镖靶上，尽管最后一个飞镖打在了飞镖贴外，但这一个依然算在内。你可以看出，游戏会越来越难。
我给你的问题就是求出所得分数的期望值。一个很好的思路就是把分数为n的概率乘以n然后对其求和，即下面这条式子：
啊，又要埋坑，随缘更新啊？那没事了(滑稽)
大家可以一起来讨论一下，猜一下答案什么的。
小提示:这个问题很有实际意义(仅仅是意义)，在自然界中，这种现象也不少见，生物的繁衍生息，石头年龄的变化，时间...都离不开它。
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然后可以这样:P(s)=P(s>n)-P(s>n+1)，带入E化简就得到
喀秋莎
这个很简单，假设半径是1，落点位置是0~1的随机数，P(1)=1,P(2)=R1……
E(s)=P(s>0)+P(s>1)+P(s>2)+...
P(s>0)和P(s>1)都为1(第一次绝对中,第二次无论输赢都加分)，
P(s>2)==>x1+x2<1，可以想象一个x1-x2的平面坐标系那它就是一个三角形，1就是1^2(正方形)，三角形除以正方形就是它的答案:1/2
P(s>3)==>x1+x2+x3<1,想象三维空间，同上...答案:1/6
P(s>4)=1/24.........
带入E：E=1+1+1/6+1/24+1/120+...=e高三力。。 -
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星辰乄
除了求积分那一部分我懵了一下，整体看着还不错，楼主用心了。毕竟这种单纯的概率题，理解起来不是很困难，不过要解释清楚确实不简单。
我虽然不是单纯的数学爱好者，但对于数学问题也很感兴趣，碰到这种巧合也会 ... 说实话，时间久了，我自己看着先前写的东西也有点迷，就是P(s＞n)为什么可以转化为x1+x2+x3+...+xn＜R，xn∈[0,R]成立的概率（勘误，按照定义应该是R而不是1,当然你也可以两边同时除以R，没影响），其实你只要画个图就理解了，定义xn=r(n-1)-rn），当局数越来越多时，把所有的xn相加，如果它们能满足小于R的话，就说明游戏可以继续下去，反之游戏结束，就是那个不等式成立的概率了
至于为什么要积分这一步，这里简单的举个例子吧：
x^2+y^2＜1，x和y∈[-1,1]，画一个坐标系，x^2+y^2是圆的方程，1的意思就是圆的半径的平方要小于1，那么你可以在外套一个边长为2的正方形，按照x,y的定义，它们的活动范围就只能在正方形内，要满足原不等式成立，就只要算出圆面积与正方形之比，那么此时P=S圆/S正=π/4。
同理，x1+x2＜R，xn∈[0，R]，你也可以画一个坐标系，x1+x2就是直线函数，与坐标轴围成一个三角形，包一个正方形，算出它们的比值就是不等式成立的概率了。x1+x2+x3＜R时就要搞三维空间了，就要算出三面体和正方体的体积了，正方体好算，三面体呢？此时积分的重要性就来了。我们可以用切片：用n-1维的图形的“体积”求n维图形的“体积”，即S(n+1)=∫（0，rn）xn dx(n+1)，这样就可以算n维“三面体”的“体积”了，（找不到合适的称呼，就用“体积”这个词代替了测度），可以发现它们都是1/n!，严格点的话可以用量纲法把通式推导出来，于是就有了那个神奇的级数啦。如果感兴趣且有时间的话你可以去推一下“球”的“体积”通项公式（三角换元大法好），你会发现它们满足都满足阶乘关系
顺便说一下，本人是一个对数学感兴趣的准初三学生哦（绝对不是凡尔赛）最后于 2021-7-15 被皮蒂亚编辑 ，原因：高三力。。 -
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