“定周长的封闭图形当中，面积最大的是圆。”这个结论很多人都知道，然而大多都不知道怎么证明。这里给出了一个不怎么巧妙但容易想到的证明，并介绍一些有用的数学方法。

一.问题的转化

容易想到的是“量化”图形，首先要考虑如何表示图形。于是我们在极坐标下取图形内部一点作为极点。

构造关于θ的函数r(θ)，并且θ的取值范围为0~2π，这个时候能表示任意封闭图形(这里其实并不严谨，但不影响证明，后文的“补充说明”会提到)。因为是封闭图形，所以函数r(θ)应满足两个条件：

1.(即函数连续)

2.(端点相连)

接着就是分别表示图形的周长和面积。

周长的表示要用到极坐标下的弧微分

弧微分是用一条线段的长度来近似代表一段弧的长度。

它推导过程如下：

根据极坐标转直角坐标的参数方程

有

由勾股定理得

于是周长

面积的表示比较简单，用扇形的面积公式再积分即可

那么问题就转化为：

在满足且为前提条件的情况下，当为定值，且取得最大值时，证明此时r(θ)=const.（即r为定义域是[0,2π]的常函数，此时图形为圆）

二.拉格朗日乘数法

先考虑一个问题:求f(x,y)在约束条件g(x,y)=0限制下的极值

我们可以想象f(x,y)的图像是一座小山，并画出一堆等高线，g(x,y)=0是一条落在山上的一条曲线。当f(x,y)取到极值(在约束条件下，图中为5)时约束曲线与等高线相切，那么它们在这点的法线平行，于是会满足

再移项得

常数λ被称为拉格朗日乘子

引入辅助函数

那么当这个函数取得极值时，f在g=0的限制条件下也取得极值，而且可以推广至任意元。

我们回到原来的问题。

令C(r)=k可以构造辅助函数函数F(r)

我们只要求此函数的极值即可

三.变分法

函数F(r)的自变量是函数，这是什么意思呢？意思是这个函数的作用是将一个平面上的曲线映射到数轴上的一个点。我们把这种自变量是函数的函数称为泛函。

那么如何求泛函的极值呢？这就要用到变分法。

“δ”和微分中的“d”思想类似，后者的微扰为一个数，而前者表示为对一族函数的微扰。

展开上式并化简得到

令

那么

这里h(r+δr)取δr的幂级展开，因为δr是任意一阶微小量，所以高次项可以忽略，取前两项即可。

同理

当δF=0时，r经扰动后F的变动值为0，此时泛函F取极值。

所以

移项并代入原式得

因为λ是常数，为满足等式右边的式子为常数，则必须消掉δr，所以解得r’=0，则r=const.( 定义域为[0,2π] ).

得证

四.补充说明

1.我虽然口头上说函数满足r(0)=r(2π)，但其实在表示中没有满足的情况也算在内，即图形不封闭，这时候周长表示为曲线长，面积表示为连接两端点的图形的面积

但把这种情况也算进去的话圆还是最大。

2.有些属于凹集的图形并不能用函数表示(比如下图)

这就是多连通区域的图形，但它并不影响结论。

因为我们可以证明定周长的图形凹的没有凸的大，作曲线AB关于直线AB的对称曲线，新的图形的周长不变，但面积比原来的大。

于是我们可以忽略图形属于凹集的情况。

呼！终于写完了！！！用了一天半的时间，一直在想这个问题，这个问题是我们新高中的数学老师提到的（tmd中考完还要去高中上课），我们大多数同学都知道答案，但老师说让我们证明，于是就有了上面这些。。。

基本上我想到了量化，但不知道怎么算，于是我就去学了一点泛函分析，所以这个贴是现学现卖，欢迎各路大佬帮助指正一些不严谨的地方。