一个有趣的数学问题

皮蒂亚 2021-7-13 6443


        我们来玩个游戏,假设你有一个飞镖靶(圆形)和一个同等大小的飞镖贴,把飞镖贴贴在飞镖靶上,然后开始玩飞镖,规则如下:

  1. 假设你有一个能让飞镖射出去后能保持在飞镖靶上的特异功能,即飞镖的落点总是在飞镖靶内

  2. 你是一个机器人,做出的行动总是随机的,因此,飞镖落在飞镖靶内的概率是同等的

  3. 飞镖射出去以后,如果它的落点飞镖贴上的话,以落点到圆心的距离为半径画圆,剪去飞镖上画出的圆外的贴纸,只留下画出的圆,将它作为新的飞镖贴,开始下一轮游戏

  4. 如果飞镖落在飞镖贴外,结束游戏,此时飞镖靶上的飞镖个数即为所得分数

play.gif

        如果还不明白的话,整个动画应该就明白了吧。蓝色的大圆盘就是我们的飞镖靶,红色的就是飞镖贴,哪些红红绿绿的小点点就是我们飞镖的落点,右上角是我们的得分。可以看到这局游戏的最后我们的得分是4,因为最后一共有4个点落在飞镖靶上,尽管最后一个飞镖打在了飞镖贴外,但这一个依然算在内。你可以看出,游戏会越来越难。

我给你的问题就是求出所得分数的期望值。一个很好的思路就是把分数为n的概率乘以n然后对其求和,即下面这条式子:

latex.png

啊,又要埋坑,随缘更新啊?那没事了(滑稽)

大家可以一起来讨论一下,猜一下答案什么的。

小提示:这个问题很有实际意义(仅仅是意义),在自然界中,这种现象也不少见,生物的繁衍生息,石头年龄的变化,时间...都离不开它。

最后于 2021-7-15 被皮蒂亚编辑 ,原因:
高三力。。
最新回复 (16)
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 2
    喀秋莎 这个很简单,假设半径是1,落点位置是0~1的随机数,P(1)=1,P(2)=R1……
    对啊,不过要认真做的话要用到积分求n维“三面体”(找不到合适的称呼了),最后算出来一个级数,会发现答案是自然对数的底数e
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 3
    喀秋莎 这个很简单,假设半径是1,落点位置是0~1的随机数,P(1)=1,P(2)=R1……
    光算P(s)就很难,,,
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 4
    喀秋莎 这个很简单,假设半径是1,落点位置是0~1的随机数,P(1)=1,P(2)=R1……
    可以这么想:这里假设n回合飞镖贴的半径为rn,飞镖靶的半径为R.可以让x1=R-r1;x2=r1-r2;x3=r2-r3...
    ①x1<R
    ②x2<r1=R-x1(这样可以保证下一个点在飞镖贴内)==>x1+x2<R
    ③x3<r2=R-x1-x2==>x1+x2+x3<R
    ...
    x1+x2+x3+...+xn>R,xn属于[0,R],这个式子刚好成立时n的值即为所求
    然后可以开始搞积了[滑稽]
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 5
    喀秋莎 这个很简单,假设半径是1,落点位置是0~1的随机数,P(1)=1,P(2)=R1……
    然后可以这样:P(s)=P(s>n)-P(s>n+1),带入E化简就得到
    E(s)=P(s>0)+P(s>1)+P(s>2)+...
    P(s>0)和P(s>1)都为1(第一次绝对中,第二次无论输赢都加分),
    P(s>2)==>x1+x2<1,可以想象一个x1-x2的平面坐标系那它就是一个三角形,1就是1^2(正方形),三角形除以正方形就是它的答案:1/2
    P(s>3)==>x1+x2+x3<1,想象三维空间,同上...答案:1/6
    P(s>4)=1/24.........
    带入E:E=1+1+1/6+1/24+1/120+...=e
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 6

    切片:求n维可以用n-1维的图形求。如:想象一个三角形在截一个三面体,
    ∫(0,1)1/2(1-x3)^2*dx3=1/6。还算好求,如果要求“球”的“体积”的话就要三角换元了,

    然后推荐一下3b1b和numberphile:

    https://b23.tv/Xc7OiM 下次填坑就推n维“球”的公式(计算量吓人)

    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 7
    写得有些匆忙,下一个解答贴应该会很细吧(虽然也有可能没有),大家有别的方法也可以发过来,相互学习
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 8
    6thNOS csdn上已经有这个了 https://blog.csdn.net/Nathan_wz/article/details/8045707

    妙啊!本以为很少有人喜欢纯粹的数学,所以就把它弄成了一个游戏,酷炫的问题和答案,没人注意过程,所以当人看到一个个公式的时候就直接去世了,没想到大佬还是有的。
    用这个方法推出来也是e。

    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-13
    0 9
    不搞积了,搞穷举和集合去了
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-14
    0 10
    联盟X 不是很懂你们理科生研究这个做什么
    就感觉很神奇,e是什么,它的定义是当dx趋近于0时(e^(x+dx)-e^(x))/dx=e^x,用图像来表示的话就是e^x在坐标系下图像的斜率为它本身,这么一个数竟然会出现在这样一个游戏中,另外e^x因为它本身的定义,常常用于研究一种指数型的变化,比如石头的年龄,生物的繁衍生殖等等
    要说这个问题本身的意义,由泰勒展开可以得到
    e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!...
    而我推出来的式子刚好符合这样的式子。数学总是如此的神奇
    另外呢,我也不是理科生,我就只是个纯粹的数学爱好者
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-14
    1 11
    星辰乄 除了求积分那一部分我懵了一下,整体看着还不错,楼主用心了。毕竟这种单纯的概率题,理解起来不是很困难,不过要解释清楚确实不简单。 我虽然不是单纯的数学爱好者,但对于数学问题也很感兴趣,碰到这种巧合也会 ...

    说实话,时间久了,我自己看着先前写的东西也有点迷,就是P(s>n)为什么可以转化为x1+x2+x3+...+xn<R,xn∈[0,R]成立的概率(勘误,按照定义应该是R而不是1,当然你也可以两边同时除以R,没影响),其实你只要画个图就理解了,定义xn=r(n-1)-rn),当局数越来越多时,把所有的xn相加,如果它们能满足小于R的话,就说明游戏可以继续下去,反之游戏结束,就是那个不等式成立的概率了
    至于为什么要积分这一步,这里简单的举个例子吧:
    x^2+y^2<1,x和y∈[-1,1],画一个坐标系,x^2+y^2是圆的方程,1的意思就是圆的半径的平方要小于1,那么你可以在外套一个边长为2的正方形,按照x,y的定义,它们的活动范围就只能在正方形内,要满足原不等式成立,就只要算出圆面积与正方形之比,那么此时P=S圆/S正=π/4。
    同理,x1+x2<R,xn∈[0,R],你也可以画一个坐标系,x1+x2就是直线函数,与坐标轴围成一个三角形,包一个正方形,算出它们的比值就是不等式成立的概率了。x1+x2+x3<R时就要搞三维空间了,就要算出三面体和正方体的体积了,正方体好算,三面体呢?此时积分的重要性就来了。我们可以用切片:用n-1维的图形的“体积”求n维图形的“体积”,即S(n+1)=∫(0,rn)xn dx(n+1),这样就可以算n维“三面体”的“体积”了,(找不到合适的称呼,就用“体积”这个词代替了测度),可以发现它们都是1/n!,严格点的话可以用量纲法把通式推导出来,于是就有了那个神奇的级数啦。如果感兴趣且有时间的话你可以去推一下“球”的“体积”通项公式(三角换元大法好),你会发现它们满足都满足阶乘关系
    顺便说一下,本人是一个对数学感兴趣的准初三学生哦(绝对不是凡尔赛)

    最后于 2021-7-15 被皮蒂亚编辑 ,原因:
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 12
    再次勘误,应该是四面体哈(少数了一个底)
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 13
    当我再次点进这个贴的时候,发现错误不断(哭),干脆出贴...
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 14

    嗯,简单的排列组合,这我竟然都没想到哈,取而代之的是我用积分来表示了(虽然有些麻烦,不过这其中的联系很妙),另外P(s>n)和P(n)的值是不同的,所以才会有之前的不同结果(关于n!还是(n-1)!)
    还有就是,这其中其实有个小细节:如果落点在圆心或圆边缘的话,就是另一种情况了,你不能确定这句游戏的胜负,不过这样的事可能发生,只是它的概率为0(线段或点与平面图形的比值为0)。你也可以想象一个(0,1)随机递增的数列,0.5这个数出现了两次,但这种情况发生的概率为0,想象一个在数轴上的点,点本身无限小,相对于直线来说就显得微不足道了(降维打击哈哈哈)。关于这个细节,我觉得还是挺有趣的。

    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 15

    好,现在有三种方法了,一个比一个简单,果然数学还是越简单越好

    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 16
    星辰乄 如果存在重复,会对每一次得分产生影响,但不会对整体期望值产生过多影响,原因依然是贪心思想的核心,我们对于每一步都认为其尽可能地有效,所以重复的值会影响概率分布,但不会影响最终的期望长度,这就是其精妙之 ...
    不是很懂,大概的意思是我们假定每一步是尽可能有效的,所以不会产生多大影响吗?感觉这样一个游戏放在现实中是不可能的,感觉就要扯点弦论之类的东西,空间到底是连续的还是粗糙的,或者存在分形维度?反正这个问题也只是在理想环境中,我们研究它也许只是在精神世界中。(日常哲学undefined)
    高三力。。
  • 皮蒂亚 2021-7-15
    0 17
    星辰乄 因为我们要算的是期望值,也就是对整体情况的评估,为了对价值评估的准确性,我们肯定认为数据越多越好,情况越长越好,那么要让情况更加可靠的前提便是前次情况成立,即前一种情况是我们所希望的那样。 白话说, ...
    好像有点懂了,感谢大佬~
    高三力。。
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